Question

14．已知AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D為$\widehat{AC}$上任意一點(diǎn)，E為弦BD上一點(diǎn)，且 BE=AD．
（1）試判斷△CDE的形狀，并加以證明．
（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△ADC≌△BEC，則可得到CD=CE，結(jié)合AB為直徑可證明∠DCE=90°，可判斷△CDE為等腰直角三角形；
（2）由條件可證明△COD為等邊三角形，則可求得CD=4，利用勾股定理可求得DE的長(zhǎng)．

解答 解：
（1）△CDE為等腰直角三角形，
證明如下：
如圖1，連接AC、BC，

則∠DAC=∠DBC，
∵AB為直徑，CO⊥AB，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠DAC=∠EBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，
∴△CDE為等腰直角三角形；
（2）如圖2，連接OD，

則∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，
∴△OCD為等邊三角形，
∴CD=CE=OA=4，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，在（2）中證明△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．