Question

7．一段斜坡路面的截面圖如圖所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i₁=1：2，現(xiàn)計(jì)劃削坡放緩，新坡面的坡角為原坡面坡腳的一半，求新坡面AD的坡比i₂（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 作DE⊥AB，可得∠BDE=∠BAC，即可知tan∠BAC=tan∠BDE，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)DC=2x，由角平分線性質(zhì)得DE=DC=2x，再分別表示出BD、AC的長(zhǎng)，最后由坡比定義可得答案．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠BDE，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)DC=2x，
∵∠DAC=∠DAE，∠DEB=∠C=90°，
∴DE=DC=2x，
則BE=x，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BC=CD+BD=（2+$\sqrt{5}$）x，
∴AC=2BC=（4+2$\sqrt{5}$）x，
∴新坡面AD的坡比i₂=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2x}{（4+2\sqrt{5}）x}$=$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡比問題，根據(jù)題意表示出所需線段的長(zhǎng)度是解題的切入點(diǎn)和關(guān)鍵．