Question

點P是△ABD中AD邊上一點，
（1）如圖1，當P為AD中點時，則有S_△ABP=

 

S_△ABD；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，△DBC的面積為S₃．
①當AP=

1

2

AD時，如圖3，試探究S₁、S₂、S₃之間的關系？寫出求解過程；
②一般地，當AP=

1

n

AD（n表示正整數(shù)）時，試探究S₁、S₂、S₃之間的關系？寫出求解過程．

Answer 1

考點：三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形中線的性質可得S_△ABP與S_△ABD之間的關系；
（2）①根據(jù)三角形中線的性質可得S_△ABP=

1

2

S_△ABD，S_△CDP=

1

2

S_△CDA，再根據(jù)S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP可得S₁、S₂、S₃之間的關系；
②根據(jù)高相等的兩個三角形面積與底邊的關系可得S_△ABP=

1

n

S_△ABD，S_△CDP=

n-1

n

S_△CDA，再根據(jù)S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP可得S₁、S₂、S₃之間的關系．

解答：解：（1）S_△ABP=

1

2

S_△ABD；

（2）①當AP=

1

2

AD時（如圖2）：
∵AP=

1

2

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

2

S_△ABD．
∵PD=AD-AP=

1

2

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

1

2

S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

S_△ABD-

1

2

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

2

S_△DBC+

1

2

S_△ABC．
②S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC；
∵AP=

1

n

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

n

S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=

n-1

n

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

n-1

n

S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

S_△ABD-

n-1

n

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

n-1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC．
∴S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC．

點評：考查了三角形的面積，關鍵是熟悉三角形中線的性質，高相等的兩個三角形面積與底邊成正比的關系．