Question

5．（1）如圖①，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD與BC相交于點(diǎn)E，EF⊥BD，垂足為F，試回答圖中，△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，△ABE∽△DCE；
（2）如圖②，工地上有兩根電線桿，分別在高為4m、6m的A、C處用鐵絲將兩桿固定，求鐵絲AD與鐵絲BC的交點(diǎn)M處離地面的高；
（3）如圖③，已知：AB∥CD，AD、BC相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB，交AB于點(diǎn)F，若EF=4，AB=6，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得到AB與CD平行，同理EF與AB平行，且與CD平行，根據(jù)EF與AB平行，利用兩直線平行同位角相等得到兩對角相等，確定出三角形DEF與三角形DAB相似；同理得到三角形BEF與三角形BCD相似；由兩直線平行得到兩對內(nèi)錯(cuò)角相等，得到三角形ABE與三角形DEC相似，
（2）先設(shè)MH=x，由于MH是EF上的高，AB、CD也分別垂直于EF，那么有AB∥MH∥CD，由AB∥MH，利用平行線分線段成比例定理的推論可得△DHM∽△DBA，那么有MH：AB=DH：DB，即x：4=DH：DB，同理可得x：6=BH：DB，兩式相加可得方程，解方程即可；
（3）由AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得$\frac{EF}{AD}=\frac{DE}{AD}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{CE}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$，又由AB=6，EF=4，即可．

解答 解：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴AB∥CD，
∵EF⊥BD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EFD=∠ABD，∠DEF=∠DAB，
∴△DEF∽△DAB；
∵∠BFE=∠BDC，∠BEF=∠BCD，
∴△BEF∽△BCD；
∵∠A=∠EDC，∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△DEC，
故答案為：DAB；BCD；DCE
（2）設(shè)MH=x，
∵M(jìn)H是EF上的高，AB、CD也分別垂直于EF，
∴AB∥MH∥CD，
∵AB∥MH，
∴△DHM∽△DBA，
∴MH：AB=DH：DB，
∴x：4=DH：DB①，
同理x：6=BH：DB②，
①+②得$\frac{x}{4}$+$\frac{x}{6}$=1，
解得x=2.4．
故鐵絲AD與鐵絲BC的交點(diǎn)M處離地面的高為2.4m，
（3）∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{AD}$，
∵EF=4，AB=6，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$
∵AB∥CD，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$
∵EF∥CD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$
∴CD=3EF=12．

點(diǎn)評 此題是相似三角形的判定與性質(zhì)，主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用了平行線的判定、平行線分線段成比例定理的推論、解一元一次方程的有關(guān)知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．