Question

7．已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．動點P從O點出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動．設(shè)移動的時間為t秒．
（1）求經(jīng)過O，A，C三點的拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上找一點M使△MAC的周長最小，求出點M的坐標(biāo)；
（3）試求出當(dāng)t為何值時，△OAC與△PAQ相似；
（4）是否存在某一時刻，使△PAQ為等腰三角形？若能，請直接寫出t的所有可能的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）如圖拋物線對稱軸與直線OC的交點就是點M，此時△MAC周長最小，求出直線OC解析式，即可解決問題．
（3）根據(jù)P點是否在線段OA上分類：當(dāng)0≤t≤2.5時，和當(dāng)t＞2.5時，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（4）當(dāng)P點在線段OA上，在A點的左側(cè)時AP=AQ，求出t即可，當(dāng)P在A點的右側(cè)AP=AQ時．求出t即可．點P在A右側(cè)：QA=QP時，求出t即可，點P在A右側(cè)：PA=PQ時，求出t即可．

解答 解：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，
解得CD=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴C（ $\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b=0}\\{\frac{256}{25}a+\frac{16}{5}b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{12}}\\{b=\frac{25}{12}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{25}{12}$x．

（2）如圖拋物線對稱軸與直線OC的交點就是點M，此時△MAC周長最小．
∵直線OC解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
拋物線y=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{25}{12}$x，的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∴點M坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{8}$）．
（3）當(dāng)0≤t≤2.5時，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此時△OAC與△PAQ不可能相似．
當(dāng)t＞2.5時，
①若∠APQ=90°，則△AQP∽△OAC，
故 $\frac{AP}{AQ}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{2t-5}{t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{25}{6}$，
∵t＞2.5，
∴t=$\frac{25}{6}$ 符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故 $\frac{AQ}{AP}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{t}{2t-5}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{20}{3}$，
∵t＞2.5，
∴t=$\frac{20}{3}$ 符合條件．
綜上可知，當(dāng)t=$\frac{25}{6}$ 或$\frac{20}{3}$時，△OAC與△APQ相似．

（4）有四種情況：
①點P在A左側(cè)：AP=AQ時，t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$，
②點P在A右側(cè)：AP=AQ時，2t-5=t，解得t=5，
③點P在A右側(cè)：QA=QP時，$\frac{1}{2}$（2t-5）=$\frac{4}{5}$t，解得t=$\frac{25}{2}$，
④點P在A右側(cè)：PA=PQ時，$\frac{4}{5}$（2t-5）=$\frac{1}{2}$t，解得t=$\frac{40}{11}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質(zhì)解題，學(xué)會分類討論，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．