Question

17．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的角平分線．
（1）如圖①，AD⊥BC于點D，試說明∠EAD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
（2）如圖②，F(xiàn)是AE上一點，F(xiàn)D⊥BC于D，這時∠EFD與∠B，∠C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（3）如圖③，F(xiàn)是線段AE延長線上一點，F(xiàn)D⊥BC于D，這時∠EFD與∠B，∠C又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EAD；
（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

解答 （1）解：∵AD⊥BC，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．