Question

12．如圖，E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點，CE=$\frac{1}{4}$BC，F(xiàn)為CD的中點，連接AF、AE、EF，
（1）判定△AEF的形狀，并說明理由；
（2）設(shè)AE的中點為O，判定∠BOF和∠BAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）正方形的邊長相等，因為設(shè)AB=4a，所以其他三邊也為4a，正方形的四個角都是直角，所以能求出AE，AF，EF的長，從而可判斷出三角形的形狀；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解答即可．

解答 解：設(shè)AB=4a，
∵AB=4a，CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴EC=a，BE=3a，
∵F為CD的中點，
∴DF=FC=2a，
∴EF=$\sqrt{（2{a）}^{2}+（a）^{2}}=\sqrt{5}a$，
AF=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}=\sqrt{20}a$，
AE=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}=5a$．
∴AE²=EF²+AF²．
∴△AEF是直角三角形；
（2）∠BOF=2∠BAF，理由如下：
∵AE的中點為O，
∵△ABE是直角三角形，△AFE是直角三角形，
∴AO=OB=OE，OE=OA=OF，
∴∠BAO=∠OAB，∠OAF=∠OFA，
∴∠BOF=∠BAO+∠OAB+∠OAF+∠OFA=2∠BAF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，四個邊相等，四個角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．