Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
（1）若AB∥CD，求證：△OAB≌△OCD；
（2）在問題（1）中，若AC=BD，則四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由ASA證得這兩個(gè)三角形全等；
（2）利用（1）中全等三角形的性質(zhì)判定AB=CD，則四邊形ABCD是平行四邊形，則根據(jù)”對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形“推知四邊形ABCD是矩形．

解答 （1）證明：如圖，∵在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC．
又∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，
在△OAB與△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCD（ASA）；

（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，則AB=CD．
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
故答案是：矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊、公共角以及對(duì)頂角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．