Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時(shí)，PQ=2$\sqrt{5}$．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍．
（2）連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)度，然后利用矩形的性質(zhì)確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；自變量的取值范圍由動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間來確定；
（2）本問關(guān)鍵是利用相似三角形與翻折變換的性質(zhì)，求出S的表達(dá)式．注意求圖形面積的方法S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE．經(jīng)化簡(jiǎn)計(jì)算后，S=32為定值，所以S不變．

解答 解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{{PQ}^{2}{-CQ}^{2}}$$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}{-2}^{2}}$=4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵矩形AOCD中，A（0，4），
∴D（8，4）．
點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為$\frac{8}{2}$=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為$\frac{4}{1}$=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4．

（2）結(jié)論：△AEF的面積S不變化．
∵AOCD是矩形，
∴AD∥OE，
∴△AQD∽△EQC，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CQ}{DQ}$，∴$\frac{CE}{8}$=$\frac{t}{4-t}$，
∴CE=$\frac{8t}{4-t}$，
由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4-t，則CF=CD+DF=8-t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE
=$\frac{1}{2}$（OA+CF）•OC+$\frac{1}{2}$CF•CE-$\frac{1}{2}$OA•OE
=$\frac{1}{2}$[4+（8-t）]×8+$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{8t}{4-t}$-$\frac{1}{2}$×4×（8+$\frac{8t}{4-t}$）
化簡(jiǎn)得：S=32為定值．
∴△AEF的面積S不變化，S=32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)平面圖形的性質(zhì)，所涉及的考點(diǎn)包括相似三角形、勾股定理、矩形、翻折變換、動(dòng)點(diǎn)變化、解方程和分式運(yùn)算等，翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．