Question

4．如圖，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B₂D₁C₁的面積為S₁，設(shè)△B₃D₂C₂的面積為S₂，…，設(shè)△B_n+1D_nC_n的面積為S_n，則S₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_n=$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 由三角形的相似性可求得S₂、S₃、S₄的值，則Sn的值也可用含n的式子表示出來(lái)．

解答 解：n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，作出直線B₁B₂．
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等邊△，且邊長(zhǎng)=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理：B_nB_n+1：AC_n=1：n，
∴B_nD_n：D_nC_n=1：n，
∴S_n=$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．