Question

12．如圖，線段AB的長為5，C為線段AB上一動點（與點A、B不重合），分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角三角形ACD和BCE，若AD=x，BE=y，那么x²+y²最小值是$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)可用BC把DE²表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案．

解答 解：
在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°
∴∠DCE=90°
∴AD²+CD²=AC²，CE²+BE²=CB²
∴CD²=$\frac{1}{2}$AC²，CE²=$\frac{1}{2}$CB2，
∴DE²=DC²+EC²=$\frac{1}{2}$AC²+$\frac{1}{2}$CB2=$\frac{1}{2}$（AC+BC）²-AC•BC=$\frac{25}{2}$-BC（5-BC）=BC²-5BC+$\frac{25}{2}$=（BC-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當(dāng)CB=$\frac{5}{2}$時，DE²有最小值的值最小，
即x²+y²的最小值為$\frac{25}{4}$，
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點評 本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，由條件確定出DE²取最小值時的條件是解題的關(guān)鍵