Question

如圖，已知，∠B=∠C=90°，點E是BC邊上的中點，DE平分∠ADC，結論：①AE平分∠DAB；②AE⊥DE；③AE=DE；④S_梯形ABCD=

1

2

AD•BC；⑤S_梯形ABCD=2•S_△ADE
（1）你認為正確的結論是

 

（寫番號）
（2）選擇你認為正確的一個結論證明．

Answer 1

考點：角平分線的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）過E作EF⊥AD，則可得EC=EF=BE，根據角平分線的判定可判定①正確，再根據角平分線的定義可判定②正確，根據面積可判定④⑤正確，可得到答案；
（2）可選①，利用角平分線的判定證明即可．

解答：解：（1）如圖，過E作EF⊥AD于點F，

∵DE平分∠ADC，∠C=90°，
∴EC=EF，
又∵E為BC中點，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴BE⊥AB，
∴AE平分∠DAB，
∴①正確；
∵∠C=∠B，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴2∠CAD+2∠ADE=180°，
∴∠CAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE，
∴②正確；
∴若AE=DE則∠EDA=∠EDC=45°，則∠ADC=90°，與條件不相符合，
∴③不正確；
在△CED和△FED中，

∠C=∠EFD ∠FDE=∠CDE DE=DE

，
∴△CED≌△FED（AAS），
同理可得△AEF≌△AEB，
∴S_梯形ABCD=2（S_△EFD+S_△EFA）=2S_△AED，
∴⑤正確；
又S_△AED=

1

2

AD•EF，EF=

1

2

BC，
∴S_梯形ABCD=AD•EF=

1

2

AD•BC，
∴④正確；
綜上可知正確的為①②④⑤，
故答案為：①②④⑤；
（2）選①證明：
如圖，過E作EF⊥AD于點F，

∵DE平分∠ADC，∠C=90°，
∴EC=EF，
又E為BC中點，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴BE⊥AB，
∴AE平分∠DAB．

點評：本題主要考查角平分線的性質和判定，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．注意全等三角形的判定和性質的應用．