Question

5．如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF∥AB．
證明：（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．

Answer 1

分析 （1）首先連接AF，由D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，CF∥AB，易證得四邊形BCDF與四邊形ADCF是平行四邊形，繼而證得結(jié)論；
（2）由$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，可得$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，則可得∠G=∠DBC，繼而證得∠GDB=∠DBC=∠G=∠CDB，可證得△BCD∽△GBD．

解答 證明：（1）連接AF，
∵D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴DF∥BC，AD=DB，
∵CF∥AB，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴CF=BD，
∴CF=AD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴CD=AF，
∵AB∥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴BC=AF，
∴CD=BC；

（2）∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，
∴∠G=∠DBC，
∵GF∥BC，
∴∠GDB=∠DBC=∠G，
∵CD=BC，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠GDB=∠DBC=∠G=∠CDB，
∴△BCD∽△GBD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．