Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E在對(duì)角線AC的垂直平分線上．連接AE，過點(diǎn)E作AB的平行線，交AD邊于點(diǎn)F．動(dòng)點(diǎn)P沿E-A-D方向移動(dòng)，過點(diǎn)P作PE的垂線，分別與直線EF、CD交于點(diǎn)M、N．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x．
（1）求線段AE的長(zhǎng)；
（2）記△DEN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直接寫出當(dāng)點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得△CMN是等腰三角形的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，AE=EC，設(shè)BE=x，則AE=EC=8-x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)；
（2）分成P在線段AE上和在AD上兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的性質(zhì)求得ND的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式求解；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理利用x表示出NE、CM以及CN的長(zhǎng)，然后分成三種情況進(jìn)行討論，解方程求解．

解答 解：（1）設(shè)BE=x，則BE=BC-BE=8-x，
∵E在AC的垂直平分線上，
∴AE=EC=8-x，
在直角△ABE中，AB²+BE²=AE²，則4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
則AE=8-x=8-3=5；
（2）當(dāng)P在AE上時(shí)，即0≤x≤5時(shí)，PE=x．
如圖①，作PG⊥BC于點(diǎn)G，作PH⊥CD于點(diǎn)H．
∵PG⊥BC，∠B=90°，
∴△PGE∽△ABE，
∴$\frac{GE}{BE}=\frac{PG}{AB}=\frac{PE}{AE}$，則$\frac{GE}{3}=\frac{PG}{4}=\frac{x}{5}$，
∴GE=$\frac{3}{5}$x，PG=$\frac{4}{5}$x．
∵∠NPE=∠HPG，
∴∠NPH=∠GPE，
又∵∠PGE=∠NHP=90°，
∴△PHN∽△PGE，
∴△PHN∽△ABE，
∴$\frac{PH}{AB}=\frac{HN}{BE}$，即$\frac{5+\frac{3}{5}x}{4}=\frac{HN}{3}$，
∴HN=$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$，
∴DN=HN+CH-CD=$\frac{9}{20}x$+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x-4=$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
則S=$\frac{1}{2}$DN•EC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$）×5，即S=$\frac{25}{8}$x-$\frac{5}{8}$；
當(dāng)P在AD上時(shí)，即5＜t≤13時(shí)，作PK⊥BC與點(diǎn)K．
同理可得△PEF∽△NPD，
則$\frac{ND}{PF}=\frac{PD}{EF}$，即$\frac{ND}{3-（x-5）}=\frac{8-（x-5）}{4}$，
解得：DN=$\frac{（8-x）（13-x）}{4}$，
則S=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{（8-x）（13-x）}{4}$，即S=$\frac{5（8-x）（13-x）}{4}$；
（3）設(shè)EF交PH于點(diǎn)R，則△PMR∽△ABE，
則$\frac{MR}{BE}=\frac{PR}{AB}$，$\frac{PR}{3}=\frac{\frac{3}{5}x}{4}$，
解得：PR=$\frac{9}{20}$x，則EM=$\frac{4}{5}$x+$\frac{9}{20}x$=$\frac{5}{4}$x，
當(dāng)CM=NM時(shí)，EM=$\frac{1}{2}$CN，即$\frac{5}{4}$x=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x），
解得：x=3；
當(dāng)CM=CN時(shí)，CM²=EC²+EM²，則CM²=25+（$\frac{5}{4}$x）²=25+$\frac{25}{16}{x}^{2}$，
則25+$\frac{25}{16}$x²=（$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x）²，解得：x=$\frac{7}{6}$；
當(dāng)NM=CN時(shí)，NM²=EC²+（NC-ME）²=25+（$\frac{9}{20}$x+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x-$\frac{5}{4}$x）²=25+$\frac{225}{16}$，則MN=$\frac{15}{4}$，
則$\frac{9}{20}$x+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x=$\frac{15}{4}$，解得：x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及訂勾股定理的應(yīng)用，正確利用x表示出EM，CN以及DN的長(zhǎng)是關(guān)鍵．