Question

1．已知：等邊△ABC的邊長為4，點P在線段AB上，點D在線段AC上，且△PDE為等邊三角形，當(dāng)點P與點B重合時（如圖1），AD+AE的值為4；
[類比探究]在上面的問題中，如果把點P沿BA方向移動，使PB=1，其余條件不變（如圖2），AD+AE的值是多少？請寫出你的計算過程；
[拓展遷移]如圖3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，點P在線段BA延長線上，點D在線段CA延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，設(shè)AP=m，則線段AD、AE有怎樣的等量關(guān)系？請用含m，a的式子直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[類比探究]：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．利用（1）中的結(jié)論即可解決問題；
（3）[拓展遷移]：如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$即可解決問題；

解答 （1）解：如圖1中，

∵△PDE．△PAC都是等邊三角形，
∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，
∴∠EPA=∠DPC，
∴△EPA≌△DPC，
∴AE=CD，
∴AD+AE=AD+DC=AC=4．

（2）[類比探究]：解：AD+AE=3
理由：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．

易證△PAK是等邊三角形，
由上面題目可知．AE+AD=AK=3．

（3）[拓展遷移]：解：如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點K，使得PK=PA．

易證∠APK=∠DPE=α，
∵PD=PE，PK=PA，
∴∠DPK=∠EPA，
∴△PDK≌△PEA，
∴DK=AE，
∴AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$．
∴AD-AE=2m•sin$\frac{α}{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．