Question

13．如圖（1），直線l⊥x軸于點(diǎn)P，Rt△ABC中，斜邊AB=5，直角邊AC=3，點(diǎn)A（0，t）在y軸上運(yùn)動(dòng)，直角邊BC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEF．以直線l為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含t的式子表示）
（2）①如圖（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，拋物線恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．求此時(shí)拋物線的解析式；
②如圖（3）不改變①中拋物線的開(kāi)口方向和形狀，讓點(diǎn)A的位置發(fā)生變化，使拋物線與線段AB始終有交點(diǎn)M（x₀，y₀）．
（�。┣髏的取值范圍；
（ⅱ）變化過(guò)程中，當(dāng)x₀變成某一個(gè)值時(shí)，點(diǎn)A的位置唯一確定，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形討論求出OF即可解決問(wèn)題；
（2）①由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，3），經(jīng)過(guò)（0，0），F(xiàn)（6，0），利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
②（�。┰O(shè)平移后的拋物線為y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+m，把F（3+t，0）代入得到m=$\frac{1}{3}$t²，推出拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+$\frac{1}{3}$t²，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，t）時(shí)，t=-3+$\frac{1}{3}$t²，解得t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，由此即可解決問(wèn)題；
（ⅱ）易知直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+t}\\{y=-\frac{1}{3}（x-3）^{2}+\frac{1}{3}{t}^{2}}\end{array}\right.$，把M（x₀，y₀）代入，消去y₀得到t²-3t-x₀²+10x₀-9=0，由題意△=0，求出x₀即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，斜邊AB=5，直角邊AC=3，
∴BC=4，
∵PC=PF=OA，OP=AC=3，
當(dāng)t≥0時(shí)，OF=OP+PF=3+t，
當(dāng)t＜0時(shí)．OF=OP-PF=3-（-t）=3+t，
∴F（3+t，0）．

（2）①由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，3），經(jīng)過(guò)（0，0），F(xiàn)（6，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+3，（0，0）代入得到a=-$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3．

②（�。┰O(shè)平移后的拋物線為y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+m，把F（3+t，0）代入得到m=$\frac{1}{3}$t²，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+$\frac{1}{3}$t²，
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，t）時(shí)，t=-3+$\frac{1}{3}$t²，解得t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
由題意，當(dāng)拋物線與線段AB始終有交點(diǎn)M（x₀，y₀）時(shí)，t的取值范圍$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

（ⅱ）易知直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+t}\\{y=-\frac{1}{3}（x-3）^{2}+\frac{1}{3}{t}^{2}}\end{array}\right.$，把M（x₀，y₀）代入，消去y₀得到t²-3t-x₀²+10x₀-9=0，
由題意△=0，
∴9+4x₀²-40x₀+36=0，
解得x₀=$\frac{10±\sqrt{55}}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{10+\sqrt{55}}{2}$，$\frac{-18-3\sqrt{55}}{8}$）或（$\frac{10-\sqrt{55}}{2}$，$\frac{-18+3\sqrt{55}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)把問(wèn)題作為一元二次方程解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考?jí)狠S題．