Question

數(shù)學(xué)課堂上，老師出一道試題：
（1）如圖1，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=60°，求證：AM=MN．
（2）若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A₁B₁C₁D₁”（圖2），N₁是∠D₁CP₁的分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠A₁M₁N₁=90°時(shí)，結(jié)論A₁M₁=M₁N₁是否還成立？
（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形A_nB_nC_nD_n…X_n”，請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠A_nM_nN_n=

 

時(shí)，結(jié)論A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根據(jù)ASA推出△AEM≌△MCN即可；
（2）在A₁B₁上借錢A₁E=M₁C₁，求出∠M 1 C₁N₁=∠5，∠1=∠2，根據(jù)ASA推出△A₁EM₁≌△M₁C₁N₁即可；
（3）根據(jù)∠AMN=60°=

3-2

3

×180°，∠A₁M₁N₁=90°=

4-2

4

×180°即可得出∠A_nM_nN_n=

n-2

n

×180°．

解答：（1）證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM為等邊三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠2=∠1 AE=MC ∠5=∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=MN．


（2）解：結(jié)論A₁M₁=M₁N₁還成立．
理由是：如圖2，在A₁B₁上借錢A₁E=M₁C₁，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=∠D₁C₁B₁=∠D₁C₁P=90°，
∵A₁E=M₁C₁，
∴B₁E=B₁M₁，
∴∠6=45°，
∴∠5=135°，
∵∠M 1 C₁N₁=90°+45°=135°=∠5，
∵∠1=180°-∠A₁MB₁-∠A₁M₁N₁，∠2=180°-∠A₁M₁B₁-∠B₁，∠A₁M₁N₁=∠B₁=90°，
∴∠1=∠2，
在△A₁EM₁和△M₁C₁N₁中

∠2=∠1 A1E=M1C1 ∠5=∠M1C 1N1

∴△A₁EM₁≌△M₁C₁N₁，
∴A₁M₁=M₁N₁；

（3）解：由∠AMN=60°=

3-2

3

×180°，∠A₁M₁N₁=90°=

4-2

4

×180°，
猜想∠A_nM_nN_n=

n-2

n

×180°．
故答案為：

n-2

n

×180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出兩三角形全等，題目比較好，證明過(guò)程類似．