Question

點M在△ABC的BC的邊上，把以點M為圓心的⊙M稱之為△ABC的伴隨圓．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=8，M是BC邊的中點．
（1）如圖1，當(dāng)MN⊥BC交AC于點N時，求線段MN的長；
（2）如圖2，當(dāng)△ABC的伴隨圓⊙M與△ABC一邊相切時，求出他們重疊部分的面積；
（3）如圖3，設(shè)伴隨圓⊙M的半徑為R，請直接寫出△ABC的邊與⊙M的公共點個數(shù)所有可能的情況，并寫出相應(yīng)的R的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求出BC的長度，進(jìn)而求出MC的長度；證明△ABC∽△MNC，列出比例式即可解決問題．
（2）按照分類討論的數(shù)學(xué)思想，分別求出當(dāng)⊙M與AC、AB相切時⊙M的半徑長，即可解決問題．
（3）根據(jù)直線和圓相切、相離、相交時，圓心到直線的距離d和圓的半徑λ之間的數(shù)量關(guān)系，來逐一判斷，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC²=4²+8²=80，
∴BC=4

5

，而點M為BC的中點，
∴MC=2

5

；
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠NMC=∠A=90°，而∠C=∠C，
∴△ABC∽△MNC，
∴

AB

MN

=

AC

MC

，而AB=4，AC=8，MC=2

5

，
∴MN=

5

．

（2）如圖2，當(dāng)⊙M與AC邊相切于點D時，連接MD，

則MD⊥AC；而AB⊥AC，
∴MD∥AB，而BM=CM，
∴AD=CD，MD為△ABC的中位線，
∴MD=

1

2

AB=2，此時⊙M與△ABC重疊部分的面積
=

1

2

π•MD2=2π；
當(dāng)⊙M與AB邊相切于點E時，連接ME，
同理可求出ME=4，此時⊙M與△ABC重疊部分的面積
=

1

2

π•ME2=8π．

（3）設(shè)⊙M的半徑為λ，
則△ABC的邊與⊙M的公共點個數(shù)所有可能的情況如下：
當(dāng)0＜λ＜2時，有2個公共點；
當(dāng)2≤λ＜4時，有3個公共點；
當(dāng)λ=4時，有5個公共點；
當(dāng)4＜λ＜2

5

時，有6個公共點；
當(dāng)λ=2

5

時，有3個公共點；
當(dāng)λ＞2

5

時，有沒有公共點；

點評：該題以直角三角形和圓為載體，在重點考查直線和圓的位置關(guān)系的判定及其性質(zhì)應(yīng)用的同時，還滲透了對勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識點的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．