Question

9．如圖：已知菱形ABCD，∠DAB=60°，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE=AB，以CE為直徑作⊙O，交BC、BE于點(diǎn)G、F．
（1）求證：AC⊥CE；
（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD，∠DAB=60°，BE=AB，易得△BCE是等邊三角形，即可求得∠ACE=90°，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接OG，OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE于點(diǎn)H，可得四邊形BFOG是菱形，△OCG與△OEF是等邊三角形，然后由S_陰影=S_菱形BFOG-S_扇形OFG求得答案．

解答 （1）證明：∵菱形ABCD，∠DAB=60°，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$DAB=30°，AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，
∴∠CBE=60°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠ACE=180°-∠CAB-∠E=90°，
即AC⊥CE；

（2）解：連接OG，OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE于點(diǎn)H，
∵OF=OE=OG=OC，∠E=∠BCE=60°，
∴△OCG與△OEF是等邊三角形，
∴∠COG=∠EOF=60°，
∴∠GOF=60°，
∵AB=4，
∴CE=BE=4，
∴EF=BF=2，
∴OH=OE•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴BF=OF=OG=BG，
∴四邊形BFOG是菱形，
∴S_陰影=S_菱形BFOG-S_扇形OFG=2×$\sqrt{3}$-$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．