Question

15．在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，I是內(nèi)切圓的圓心，AH⊥BC于點(diǎn)H，E是直線IM與AH的交點(diǎn)，求證：AE=r．其中r是內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 設(shè)圓I與BC相切于P，連接IP，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，根據(jù)已知條件得到BM=$\frac{a}{2}$，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PB=$\frac{a+c-b}{2}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH=c•cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2a}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EH=r•$\frac{b+c}{a}$①
根據(jù)三角形的面積公式得到AH=$\frac{a+b+c}{a}$•r②，于是得到結(jié)論．

解答 證明：設(shè)圓I與BC相切于P，連接IP，
設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，
則BM=$\frac{a}{2}$，PB=$\frac{a+c-b}{2}$，BH=c•cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2a}$，
∵△IPM∽△MEH，
∴$\frac{IH}{IP}$=$\frac{HM}{PM}$=$\frac{BM-BH}{BM-BP}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2a}}{\frac{a}{2}-\frac{a+c-b}{2}}$=$\frac{b+c}{a}$，
∴EH=r•$\frac{b+c}{a}$①
三角形的面積公式知a•AH=（a+b+c），
∴AH=$\frac{a+b+c}{a}$•r②，
結(jié)合①，②可得AE=AH-EH=$\frac{a+b+c}{a}$•r-r•$\frac{b+c}{a}$=r

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．