Question

4．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$；正確的是（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①正確．只要證明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正確．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，推出$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，即CF=2AF；
③正確．只要證明DM垂直平分CF，即可證明；
④錯誤．設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 $\frac{a}$=$\frac{2a}$，即b=$\sqrt{2}$a，可得tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 $\frac{a}$=$\frac{2a}$，即b=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故④錯誤；
故選B．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應用，正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．解題時注意：相似三角形的對應邊成比例．