Question

17．將一個(gè)直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)O（0，0）．過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)O，A重合）作MN丄AB于點(diǎn)N，沿著MN折疊該紙片，得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AO的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)O與點(diǎn)A′的距離．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB，由折疊的性質(zhì)得出AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，證明△AMN∽△ABO，得出對(duì)應(yīng)邊相等$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AM，得出OM即可；
（2）連接OA′，由（1）得：△AMN∽△ABO，得出$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AN=$\frac{8}{5}$，由折疊的性質(zhì)得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位線，由三角形中位線定理得出MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，由勾股定理求出OA′即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
由折疊的性質(zhì)得：AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，∠ANM=90°=∠AOB，
∵∠NAM=∠OAB，
∴△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，
即$\frac{AM}{5}=\frac{2.5}{4}$，
解得：AM=$\frac{25}{8}$，
∴OM=OA-AM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴M（$\frac{7}{8}$，0）；
（2）連接OA′，如圖所示：
∵M(jìn)是AO的中點(diǎn)，
∴AM=OM=2，
由（1）得：△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，即$\frac{2}{5}=\frac{AN}{4}$，
解得：AN=$\frac{8}{5}$，
由折疊的性質(zhì)得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，
∴A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位線，
∴MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，
∴OA′=$\sqrt{O{A}^{2}-A′{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，運(yùn)用勾股定理和三角形中位線定理得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．