Question

4．已知：如圖，在△ODC中，∠D=90°，CE是∠DCO的角平分線，且OE⊥CE，過點(diǎn)E作EF⊥OC于點(diǎn)F，猜想：線段EF與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 延長CD和OE，使CD、OE相交于H，過E點(diǎn)作EG⊥HD，根據(jù)△OCE≌△HCE可得OE=EH，再判斷出EG是△OHD的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EG=$\frac{1}{2}$OD，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EF=EG，等量代換即可得證．

解答 解：如圖，延長CD和OE，交于H，過E點(diǎn)作EG⊥HD，
∵EC是∠DCO的平分線，且EC⊥OE，
∴由∠CEO=∠CEH=90°，CE=CE，∠OCE=∠HCE可得，△OCE≌△HCE，
∴OE=EH，
∵EG⊥HD，OD⊥HD，
∴EG∥OD，
∴EG是△OHD的中位線，
∴EG=$\frac{1}{2}$OD，
又∵EC是∠DCO的平分線，EG⊥HD，EF⊥OC，
∴EG=EF，
∴EF=$\frac{1}{2}$OD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和三角形的中位線．解題時(shí)注意：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．