Question

1．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，四邊形OABC是平行四邊形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一現(xiàn)象內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直線AD的解析式．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及三角函數(shù)可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可得反比例函數(shù)解析式；
（2）由反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)D的縱坐標(biāo)可得D的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，待定系數(shù)法可求得直線AD解析式．

解答 解：（1）如圖，作AH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵OA=2，∠AOH=45°，
∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
即A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
又∵點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在y=$\frac{m}{x}$圖象上，
∴m=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴反比例函數(shù)解析式是y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點(diǎn)D在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴其橫坐標(biāo)為2$\sqrt{2}$，即D（2$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設(shè)直線AD解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）、D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=\sqrt{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}k+b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，求出A、D點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．