Question

12．如圖，在△ABC中，點D是AC延長線上的一點，過點D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點G．
（1）如圖1，若∠A=50°．求∠G的度數(shù)；
（2）如圖2，連接FE，若∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G．求證：FE∥AD．

Answer 1

分析 （1）在圖中添上點M，由DE∥BC結(jié)合外角的性質(zhì)可得出∠ADE=∠A+∠ABC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），由此可得出∠GFM=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠GBF+∠G，從而得出∠G=$\frac{1}{2}$∠A，根據(jù)∠A的度數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可得知：∠CDF=∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠G=$\frac{1}{2}$∠A，再結(jié)合已知∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G，即可得出∠DFE=∠CDF，根據(jù)平行線的判定定理“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證出FE∥AD．

解答 （1）解：在BF延長線上標上點M，如圖所示．

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC，∠GFM=∠GDE．
∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，
∴∠GDE=$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠GBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠GFM=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠GBF+∠G，
∴∠G=$\frac{1}{2}$∠A=25°．
（2）證明：由（1）知：∠CDF=∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠G=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠CDF，
∴FE∥AD．

點評 本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出∠G=$\frac{1}{2}$∠A；（2）通過角的計算找出∠DFE=∠CDF．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．