Question

3．【圓的概念】在平面內(nèi)，線段PA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，如圖1所示，換言之，到某個(gè)定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
【拓展延伸】圓心在P（a，b），半徑為r的圓的方程可寫為：（x-a）²+（y-b）²=r²．
例如：圓心在P（-1，-2），半徑為5的圓的方程可寫為：（x-2）²+（y+1）²=25．
（1）請(qǐng)?zhí)羁眨?br />①以A（3，0）為圓心，半徑為1的圓的方程為：（x-3）²+y²=1；
②以B（-1，-2）為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓的方程為：（x+1）²+（y+2）²=3；
（2）請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問題：
如圖2所示，以B（-6，0）為圓心的圓與y軸相切于原點(diǎn)，C是⊙B上一點(diǎn)，連接OC，作BD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)E，已知∠AOC=$\frac{3}{5}$．
①連接EC，判斷EC和⊙B的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在BE上是否存在一點(diǎn)P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以P為圓心，以PB為半徑的⊙P的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)閱讀材料中的定義求解；
（2）①根據(jù)垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；
②由∠BOE=∠BCE=90°，根據(jù)圓周角定理得點(diǎn)C和點(diǎn)O偶在以BE為直徑的圓上，即當(dāng)P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)時(shí)，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，在Rt△BOE中，利用正弦的定義計(jì)算出BE=10，利用勾股定理計(jì)算出OE=8，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），于是得到線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4），PB=5，然后寫出以P（-3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程．

解答 （1）解：①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為（x-3）²+y²=1；
②以B（-1，-2）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=3；
故答案為（x-3）²+y²=1；（x+1）²+（y+2）²=3；

（2）①證明：∵BD⊥OC，
∴CD=OD，
∴BE垂直平分OC，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
∵BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO，
∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，
∴∠BOE=∠BCE=90°，
∴BC⊥CE，
∴EC是⊙B的切線；
②存在．
∵∠BOE=∠BCE=90°，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)O偶在以BE為直徑的圓上，
∴當(dāng)P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)時(shí)，滿足PB=PC=PE=PO，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），
∴OB=6，
∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，
∴∠BEO=∠AOC，
∴sin∠BEO=sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BOE中，sin∠BEO=$\frac{OB}{BE}$，
∴$\frac{6}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=10，
∴OE=$\sqrt{B{E}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4），PB=5，
∴以P（-3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程為（x+3）²+（y-4）²=25．

點(diǎn)評(píng) 本題了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)；閱讀理解能力也是本題考查的重點(diǎn)；會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．