Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOBD的頂點(diǎn)A為（0，6$\sqrt{3}$），頂點(diǎn)B為（6，0），取OB、BD邊上的中點(diǎn)分別記為點(diǎn)E、F，以BE，BF為邊作矩形BEGF（如圖1），將矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中OE、DF所在直線交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2時(shí)，求證：△OEB∽△DFB；
（2）當(dāng)矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到60°時(shí)，
①求點(diǎn)M坐標(biāo)；
②求點(diǎn)M在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；
（3）在矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，點(diǎn)E能否與點(diǎn)M重合？若能畫(huà)出相應(yīng)狀態(tài)圖，并求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖1得：OB：BE=BD：BF=2：1，再利用同角的余角相等得∠OBE=∠DBF，則△OEB∽△DFB；
（2）①作輔助線，構(gòu)建點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，先求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$），再證明△CDG是等邊三角形，則有∠DCG=60°，所以∠DCM=∠DOB=60°，則CM∥OB，由等腰三角形三線合一得：CQ=QG=$\frac{1}{2}$OB=3，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②如圖4，點(diǎn)M在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)就是$\widehat{BM}$的長(zhǎng)，先計(jì)算圓心角∠BCM的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式代入計(jì)算；
（3）畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)是兩種情況：點(diǎn)M分別為⊙C與⊙B的兩個(gè)交點(diǎn)，圓C的方程為：（x-3）²+（y-3$\sqrt{3}$）²=36，圓B的方程為：（x-6）²+y²=9，列方程組，求解即可．

解答 證明：（1）根據(jù)圖1知，E、F分別是OB、BD的中點(diǎn)，
∴圖2中有：OB：BE=2：1，BD：BF=2：1，
∴OB：BE=BD：BF，
∵四邊形APBD、ESFG都是矩形，
∴∠OBD=∠EBF=90°，
∴∠OBE=∠DBF，
∴△OEB∽△DFB；
（2）①如圖3，由（1）知：∠BOM=∠BOE=∠BDF=∠BDM，
∴O、B、M、D四點(diǎn)共圓，且直徑為OD，
∴∠OMD=∠OBD=90°，
∵∠EGF=90°，
∴D、G、F共線，
所以當(dāng)矩形BEGF旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M在以BD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，有∠OBE=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=OB•cos60°=OB•cos∠OBE，
∴BE⊥OE，
∴∠BOE=30°，
∵BE⊥EG，
∴O、E、G三點(diǎn)共線，
∵A為（0，6$\sqrt{3}$），B為（6，0），
∴OB=6，BD=6$\sqrt{3}$，D（6，6$\sqrt{3}$），
設(shè)C是OD的中點(diǎn)，則C（3，3$\sqrt{3}$），
∴tan∠ODB=$\frac{OB}{BD}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ODB=30°，
∵∠BDF=∠BOE=30°，
∴∠ODM=∠ODB+∠BDG=60°，
∵△CDM是等腰三角形，
∴△CDM是等邊三角形，
∴∠DCM=60°，
∴∠DCM=∠DOB=60°，
∴CM∥OB，
∴CQ=QG=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴M（9，3$\sqrt{3}$）；
②如圖4，連接BC，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{{6}^{2}+（6\sqrt{3}）^{2}}$=12，
∴CD=$\frac{1}{2}$OD=6，
∠BCM=180°-∠DCM-∠OCB=60°，
矩形BEFG在開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，OE與DF交于點(diǎn)B，
如圖2，旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，OE與DF交于點(diǎn)G，即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為$\widehat{BM}$，
∴點(diǎn)M在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：$\frac{60π•CD}{180}$=$\frac{6π}{3}$=2π；
（3）如圖5和如圖6，分兩種情況，點(diǎn)M分別為圓C與以B為圓心，以BE=3為半徑的圓B的兩個(gè)交點(diǎn)，
圓C的方程為：（x-3）²+（y-3$\sqrt{3}$）²=36，
圓B的方程為：（x-6）²+y²=9，
兩個(gè)方程相減得：2x-2$\sqrt{3}$y-9=0，
得x=$\sqrt{3}$y+$\frac{9}{2}$，代入圓B的方程消去x得：4y²-3$\sqrt{3}$y-$\frac{27}{4}$=0，
解得：y=$\frac{3\sqrt{3}±3\sqrt{15}}{8}$，對(duì)應(yīng)的x=$\frac{45±9\sqrt{5}}{8}$，
所以當(dāng)E、M重合時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{45+9\sqrt{5}}{8}$，$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{15}}{8}$）或（$\frac{45-9\sqrt{5}}{8}$，$\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{15}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形和旋轉(zhuǎn)變換的綜合題，難度較大，圖形較為復(fù)雜；此題考查了利用四點(diǎn)共圓確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，并根據(jù)圓的方程求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)．