Question

11．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠AEC=90°．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當(dāng)t=$\frac{11}{2}$時，四邊形ABQP成為矩形？
（2）當(dāng)t=4或$\frac{11}{2}$時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形？
（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

分析 （1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；
（2）由（1）可求得點P、Q與點A、B為頂點的四邊形為平行四邊形；然后由當(dāng)PD=CQ時，CDPQ是平行四邊形，求得t的值；
（3）由PD∥BQ，當(dāng)PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間t的值，再代入求BP，發(fā)現(xiàn)BP≠PD，判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設(shè)Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據(jù)PD=BQ=BP列出關(guān)于v、t的方程組，解方程組即可求出點Q的速度．

解答 解：（1）如圖1，∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，
此時有t=22-3t，解得t=$\frac{11}{2}$．
∴當(dāng)t=$\frac{11}{2}$時，四邊形ABQP成為矩形；
故答案為：$\frac{11}{2}$；

（2）如圖1，當(dāng)t=$\frac{11}{2}$時，四邊形ABQP成為矩形，
如圖2，當(dāng)PD∥CQ時，四邊形CDPQ是平行四邊形，
則16-t=3t，
解得：t=4，
∴當(dāng)t=$\frac{11}{2}$或4時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形；
故答案為：$\frac{11}{2}$或4；

（3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴當(dāng)PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，
解得：t=3，
當(dāng)t=3時，PD=BQ=13，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$≠13，
∴四邊形PBQD不能成為菱形；
如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{16-t=22-vt}\\{16-t=\sqrt{{8}^{2}+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{v=2}\end{array}\right.$．
故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．