Question

6．如圖，AP⊥AQ，半徑為5 的⊙O于AP相切于點T，與AQ交于點B、C．
①BT是否平分∠OBA？證明你的結論 
②若AT=4，求AB的長．

Answer 1

分析 ①連接OT，AT是切線，則OT⊥AP，可以證明AB∥OT，得到∠TBA=∠BTO，再根據等邊對等角得到∠OTB=∠OBT，就可以證出結論；
②過點B作BH⊥OT于點H，然后在Rt△OBH中，利用OB=5，BH=AT=4根據勾股定理求出OH，最后即可求出AB．

解答 解：①BT平分∠OBA，
證明：連接OT，
∵AT是切線，
∴OT⊥AP；
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO．
又∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA；

②過點B作BH⊥OT于點H，
則四邊形OMBH和四邊形ABHT都是矩形．
則在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AB=HT=OT-OH=5-3=2．

點評 此題考查了切線的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，及垂徑定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．