Question

18．如圖①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接BD，CE，BD和CE相交于點F，若△ABC不動，將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一個角度．
（1）求證：△BAD≌△CAE．
（2）如圖①，若∠BAC=∠DAE=90°，判斷線段BD與CE的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖②，若∠BAC=∠DAE=60°，求∠BFC的度數(shù)；
（4）如圖③，若∠BAC=∠DAE=a，直接寫出∠BFC的度數(shù)（不需說明理由）

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD，從而得出∠BAD=∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE．
（2）判定BD與CE的關(guān)系，可以根據(jù)角的大小來判定．由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，進而得△BAD≌△CAE，所以∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB．再由∠BAC=∠DAE=90°，所以BD⊥CE．
（3）根據(jù)①的∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，所以∠BFC=∠BAC，再由∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BFC=60°
（4）根據(jù)②∠BFC=∠BAC，所以∠BFC=α

解答 解：（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE
在△BAD與△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）BD與CE相互垂直，BD=CE．
由（1）知，△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠BFC=90°
∴BD⊥CE．

解：（3）由題①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∴∠BFC=∠BAC
∴∠BFC=60°．
（4）由題①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∴∠BFC=∠BAC
∴∠BFC=α．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，判斷出∠BAD=∠CAE是解本題的關(guān)鍵．