Question

7．直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A，B，點C（-1，a）是直線與雙曲線y=$\frac{m}{x}$的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若在y軸上有一點E，使得以E，A，B為頂點的三角形與△BCD相似，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△BCD的面積是1求出BD的值，進而得出B、D兩點的坐標(biāo)求出a的值，再把點C的坐標(biāo)代入雙曲線y=$\frac{m}{x}$的即可求出雙曲線的解析式；
（2）把C點坐標(biāo)代入直線y=kx+2即可得出k的值，進而得出直線AB的解析式，在解直線與雙曲線解析式組成的方程組即可求出點E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵△BCD的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$BD×CD=$\frac{1}{2}$×BD×2即BD=2，
又∵點B是直線y=kx+2與y軸的交點，
∴點B的坐標(biāo)為（0，2）．
∴點D的坐標(biāo)為（0，4），
∵CD⊥y軸；
∴點C的縱坐標(biāo)為4，即a=4，
∵點C在雙曲線上，
∴將x=-1，y=4，代入y=$\frac{m}{x}$，得m=-4，
∴雙曲線的解析式為y=-$\frac{4}{x}$；

（2）∵點C（-1，4）在直線y=kx+2上，
∴4=-k+2，k=-2，
∴直線AB的解析式為y=-2x+2．

聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，經(jīng)檢驗，是方程組的解，
故E（2，-2）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及三角形的面積，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵