Question

2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過（2，1）點(diǎn)；直線BC∥x軸交y軸于點(diǎn)C，C（0，-1），A（0，1）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是（1）中拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足為點(diǎn)B，求證：AB平分∠OAP；
（3）當(dāng)△PAB是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線過頂點(diǎn)在原點(diǎn)可設(shè)出拋物線解析式，再由點(diǎn)（2，1）可利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，過P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，則可表示出PA的長，再利用條件表示出PB，可證得PA=PB，再結(jié)合平行線的性質(zhì)證明∠PAB=∠OAB，可證得結(jié)論；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)可求得∠ABC=30°，則可求得AB的長，結(jié)合（2）中PA=PB=AB，則可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，

解答 解：
（1）∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過（2，1）點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線解析式為為y=ax²，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）證明：
∵點(diǎn)P在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²上，
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²），
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，

則HA=$\frac{1}{4}$x²-1，PH=x，
∴Rt△PHA中，PA=$\sqrt{（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵PB⊥BC于B，
∴PB=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
又∵PB∥x軸，
∴∠OAB=∠PBA，
∴∠OAB=∠PAB，
∴AB平分∠OAP；
（3）解：當(dāng)△PAB是等邊三角形時(shí)，∠PBA=60°，
∴∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC=2×2=4，
∵PA=PB=AB，
∴$\frac{1}{4}$x²+1=4，解得：x=±2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{4}$x²=$\frac{1}{4}$×12=3，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，3）或（-2$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、勾股定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的判定及等邊三角形的性質(zhì)等．在（1）中需要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中用P點(diǎn)表示出PA和PB的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用等邊三角形的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．