Question

2．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，現(xiàn)將該點(diǎn)向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點(diǎn)的運(yùn)動稱為點(diǎn)A的斜平移，如點(diǎn)P（2，3）經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5），已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）分別寫出點(diǎn)A經(jīng)1次，2次斜平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如圖，點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C．
①若A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，判斷△ABC是否是直角三角形？請說明理由．
②若點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移后得到，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，6），求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出點(diǎn)A平移的坐標(biāo)即可；
（2）①連接CM，根據(jù)中心和軸對稱的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；
②延長BC交x軸于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CF⊥AE于點(diǎn)F，根據(jù)待定系數(shù)法得出直線的解析式進(jìn)而解答即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（2，3）經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)A經(jīng)1次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)A經(jīng)2次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)（3，4）；
（2）①連接CM，如圖1：

由中心對稱可知，AM=BM，
由軸對稱可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延長BC交x軸于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CF⊥AE于點(diǎn)F，如圖2：

∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（13，0），
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，
∵C，E點(diǎn)在直線上，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{13k+b=0}\\{7k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=13}\end{array}\right.$，
∴y=-x+13，
∵點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移得到，
∴點(diǎn)B（n+1，2n），由2n=-n-1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．

點(diǎn)評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)中心和軸對稱的性質(zhì)和直角三角形的判定分析，同時根據(jù)待定系數(shù)法得出直線的解析式解答．