Question

14．已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＞0）的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為P，直線CP與過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，且CP：PD=2：3
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若tan∠PDB=$\frac{5}{4}$，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的解析式可求出對(duì)稱軸為x=1，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，所以O(shè)E：EB=CP：PD；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，交PE于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=$\frac{5}{4}$即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出a的值，最后將A（或B）的坐標(biāo)代入解析式即可求出c的值．

解答 解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵y=ax²-2ax+c，
∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=1，
∴OE=1
∵OC∥BD，
∴CP：PD=OE：EB，
∴OE：EB=2：3，
∴EB=$\frac{3}{2}$，
∴OB=OE+EB=$\frac{5}{2}$，
∴B（$\frac{5}{2}$，0）
∵A與B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴A（-$\frac{1}{2}$，0）；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，交PE于點(diǎn)G，
令x=1代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c-a，
令x=0代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c
∴PG=a，
∵CF=OB=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠PDB=$\frac{CF}{FD}$，
∴FD=2，
∵PG∥BD
∴△CPG∽△CDF，
∴$\frac{PG}{FD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{2}{5}$
∴PG=$\frac{4}{5}$，
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+c，
把A（-$\frac{1}{2}$，0）代入y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+c，
∴解得：c=-1，
∴該二次函數(shù)解析式為：y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)，涉及待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是利用作垂線構(gòu)造直角三角形，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可得出答案．