Question

2．已知（如圖1）在等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC∥x軸，S_ABCD=18k²（k＞0），點(diǎn)D（8k，-$\frac{3}{2}$k）在直線l：y=-kx+n上，動(dòng)點(diǎn)P沿A-B-C-D以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒速度移動(dòng)，在P點(diǎn)移動(dòng)過程中，△ADP的面積S與P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，過A、B、D三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)是P
（1）判斷A、O、B三點(diǎn)是否在同一直線上？并說明理由；
（2）點(diǎn)B、P兩點(diǎn)在直線CD的同旁嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）若直線l與線段BP有交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得BC=2k，由S_△ABD=15k²，${S}_{梯形ABCD}=1{8k}^{2}$，得A，B坐標(biāo)，得 AB解析式，得出結(jié)論；
（2）根據(jù)A，B，C坐標(biāo)得拋物線的解析式易得P點(diǎn)坐標(biāo)，由C，D坐標(biāo)得直線CD解析式，當(dāng)x=3k時(shí)，y=$\frac{9}{4}$k，易得P在CD同旁，梯形ABCD為等腰梯形，
得B在CD同旁，得出結(jié)論；
（3）由點(diǎn)D坐標(biāo)易得直線l的解析式，因?yàn)橹本�l與線段BP有交點(diǎn)，得不等式組解得k的取值范圍．

解答 解：（1）在一條直線上；
由圖2可得BC=2k，
∵S_△ABD=15k²，${S}_{梯形ABCD}=1{8k}^{2}$，
∴A（-2k，-$\frac{3}{2}$k），B（2k，$\frac{3}{2}k$），
求得直線AB的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x，
∴A、O、B三點(diǎn)在同一直線上．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+C過A（-2k，-$\frac{3}{2}$k），B（2k，$\frac{3}{2}k$），D（8k，-$\frac{3}{2}$k），
∴拋物線解析式為：y=$\frac{1}{8}$kx²+$\frac{3}{4}kx$+$\frac{1}{2}$k，
∴P（3k，$\frac{13}{8}k$），
∵B（2k，$\frac{3}{2}k$），BC=2k，
∴C（4k，$\frac{3}{2}$k），
∴直線CD的解析式為：y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}k$，
當(dāng)x=3k時(shí)，y=$\frac{9}{4}$k，
$\frac{9}{4}k$＞$\frac{13}{8}k$，
∴P在CD同旁，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴B在CD同旁，
即B、P兩點(diǎn)在直線CD的同旁；

（3）∵點(diǎn)D（8k，-$\frac{3}{2}$k）在直線l：y=-kx+n上，
把D（8k，-$\frac{3}{2}$k）代入y=-kx+n得：n=8k²-$\frac{3}{2}$k，
∴直線解析式為：y=-kx+8k²$-\frac{3}{2}$k，
∵直線l與線段BP有交點(diǎn)，
∴得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-{2k}^{2}+{8k}^{2}-\frac{3}{2}k≥\frac{3}{2}k}\\{-{3k}^{2}+{8k}^{2}-\frac{3}{2}k≤\frac{13}{8}k}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}≤k≤\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合是解這類問題關(guān)鍵．