Question

12．在△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于D，AD=3，DC=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 把△ABD沿AB為對稱軸翻折成為△ABG，△BCD沿BC為對稱軸翻折成為△BCE，延長EB、GA相交于點F，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以證明四邊形BEFG是正方形，設(shè)BD=x，用x表示出AF、CF，在Rt△ACF中，根據(jù)勾股定理列式進行計算即可求出x的值，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答 解：如圖，把△BCD沿BC為對稱軸翻折成為△BCE，△BDA沿AB為對稱軸翻折成為△ABG，延長EC、GA相交于點F，
則△CBD≌△CBE，△BAD≌△BAG，
所以，BG=BD=BE，∠BEC=∠BGA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBG=90°，
∴四邊形BEFG是正方形，
∵AD=3，DC=2，
∴AC=AD+CD=3+2=5，
設(shè)BD=x，則CF=EF-CE=x-2，AF=FG-AG=x-3，
在Rt△ACF中，根據(jù)勾股定理，AF²+CF²=AC²，
即（x-3）²+（x-2）²=5²，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1（舍去），x₂=6，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

點評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)∠ABC=45°軸對稱圖形，構(gòu)造出正方形并得到Rt△ACF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．