Question

14．如圖，點P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點，過點P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點．設AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面積為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致形狀是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 △CMN的面積=$\frac{1}{2}$CP×MN，通過題干已知條件，用x分別表示出CP、MN，根據(jù)所得的函數(shù)，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2．

解答 解：（1）當0＜x≤1時，如圖1，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MN}{BD}$，
即$\frac{x}{1}=\frac{MN}{1}$，
∴MN=x，
∴y=$\frac{1}{2}$CP×MN=$\frac{1}{2}$$（2-x）x=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x$（0＜x≤1），
∵-$\frac{1}{2}$＜0，∴函數(shù)圖象開口向下；
（2）當1＜x＜2，如圖2，

同理證得，△CDB∽△CNM，
$\frac{CP}{OC}=\frac{MN}{BD}$，
即$\frac{2-x}{1}=\frac{MN}{1}$，
∴MN=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$CP×MN=$\frac{1}{2}$（2-x）×（2-x）=$\frac{1}{2}（2-x）^{2}=\frac{1}{2}（x-2）^{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴函數(shù)圖象開口向上；
綜上，答案A的圖象大致符合；
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象，考查了學生從圖象中讀取信息的數(shù)形結合能力，體現(xiàn)了分類討論的思想．