Question

17．已知某二次函數(shù)滿足下列條件，求其表達(dá)式．
（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（-2，12），C（-1，5）三點(diǎn)；
（2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），且對(duì)稱軸是直線x=2；
（3）圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-2和3，且函數(shù)有最小值-3．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一般式為y=ax²+bx+c，然后把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到a、b、c的方程組，再解方程組即可；
（2）利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可；
（3）利用拋物線對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-3），設(shè)一般式y(tǒng)=a（x+2）（x-3），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{4a-2b+c=12}\\{a-b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=2x²-x+2；
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
把（0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；
（3）根據(jù)題意，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-3），
把（$\frac{1}{2}$，-3）代入得a•$\frac{5}{2}$•（-$\frac{5}{2}$）=-3，解得a=$\frac{12}{25}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{12}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．