Question

10．已知點(diǎn)P是∠ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（P與B點(diǎn)不重合），連接BP，過P作PE⊥BA于E，PF⊥BC于F．設(shè)∠EBP=α，∠FBP=β，（α、β都是銳角）
（1）當(dāng)∠EBP=40°，∠FBP=20°時(shí)，請比較sin40°與sin20°的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）；
（2）若PE＞PF，試比較sinα與sinβ的大小，并說明理由；
（3）若α＞β．試判斷cosα與cosβ的大小，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，可得出PE＞PF，從而證出sin40°＞sin20°，
（2）根據(jù)sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$，sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$，PE＞PF，BP=BP，即可得出sinα＞sinβ；
（3）先根據(jù)cos∠EBP=$\frac{BE}{BP}$=cosα，cos∠FBP=$\frac{BF}{BP}$=cosβ，得出PE＞PF，再證出BE＜BF，即可得出cosα＜cosβ．

解答 解：（1）如圖：根據(jù)圖形可得：PE＞PF，
則sin40°＞sin20°，

（2）∵sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$，sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$，PE＞PF，BP=BP，
∴$\frac{PE}{BP}＞\frac{PF}{BP}$，
∴sinα＞sinβ；

（3）∵cos∠EBP=$\frac{BE}{BP}$=cosα，cos∠FBP=$\frac{BF}{BP}$=cosβ，
∵BP=BP，α＞β，
∴PE＞PF，
∵BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$，
BF=$\sqrt{B{P}^{2}-P{F}^{2}}$，
∴BE＜BF，
∴cosα＜cosβ．

點(diǎn)評 此題考查了解直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，比較出有關(guān)結(jié)果的大小．