Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且AP=3，CP=2，BP=1，求∠BPC得度數(shù)．（提示：把△CAP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBP′，證明△BPP′為Rt△）

Answer 1

分析 首先把△CAP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBP′，可得△CPP′是等腰直角三角形，繼而求得PP′的長，然后由勾股定理的逆定理可得△BPP′是直角三角形，繼而求得答案．

解答 解：把△CAP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBP′，
則∠PCP′=∠ACB=90°，PC=P′C，BP′=AP=3，
∴∠CPP′=45°，PP′=$\sqrt{2}$CP=2$\sqrt{2}$，
在△BPP′中，BP²=1²=1，BP′²=3²=9，PP′²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
∴BP²+BP′²=PP′²，
∴∠BPP′=90°，
∴∠BPC=∠CPP′+∠BPP′=135°．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．