Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=45°，MN為AB的垂直平分線，E為MN上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作AE⊥EF，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BF．
（1）求證：AE=EF；
（2）連接CE，若∠ECA=30°，DH=1，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接BE，設(shè)∠EAC=α，分別求出∠EBF和∠F的度數(shù)，相等，則EB=AF，再由垂直平分線的性質(zhì)得AE=EB，所以AE=AF；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，先證明△AEI≌△EBJ，得EI=BJ，由30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)得EC=BF，最后求出EC的長(zhǎng)，就是BF的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）如圖1，連接BE，設(shè)∠EAC=α，
∵AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，
∴∠EAC+∠EGA=90°，
∴∠EGA=90°-α，
∵AC∥BF，
∴∠F=∠EGA=90°-α，∠CBF=∠C=45°，
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AE=EB，∠EAB=∠EBA，
∴∠EBF=90°+45°-∠EBA=135°-∠EAB=135°-（45°+α）=90°-α，
∴∠F=∠EBF，
∴EB=AF，
∴AE=AF；
（2）過(guò)E作EJ⊥BF于J，交AC于I，垂足為I，
∵EB=EF，
∴∠BEJ=∠JEF，
∵∠EAC+∠AEI=90°，∠JEF+∠AEI=90°，
∴∠EAC=∠JEF=∠BEJ，
∵∠AIE=∠BJE=90，
∵AE=BE，
∴△AEI≌△EBJ，
∴EI=BJ=$\frac{1}{2}$BF，
在Rt△EIC中，∠=30°，
∴EI=$\frac{1}{2}$EC，
∴EC=BF，
過(guò)C作CP⊥MN于P，則CP=BH=DH=1，
∴∠PCE=45°-30°=15°，
作∠QEC=∠PCE=15°，交PC于Q，則QE=QC，
∴∠EQP=30°，
設(shè)EP=x，則EQ=QC=2x，PQ=$\sqrt{3}$x，
則PC=PQ+QC，
∴1=2x+$\sqrt{3}$x，
x=2-$\sqrt{3}$，
∵EC²=PE²+PC²，
則EC²=（2-$\sqrt{3}$）²+[（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）]²，
∴EC=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴BF=EC=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形30°角、等腰直角三角形、平行線、線段垂直平分線的性質(zhì)；做好本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線，利用三角形全等及等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出邊與角的關(guān)系，利用等量代換求出結(jié)論．