Question

10．如圖①，點O為直線AB上一點，射線OC⊥AB，垂足為O，將一直角三角板的60°角的頂點放在點O處，斜邊OE在射線OB上，直角頂點D在直線AB的下方．
（1）在圖①中，求∠AOD和∠COD的度數（直接寫出結果）
（2）將圖①中的三角板繞點O按每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第x秒時，OD邊恰好平分∠BOC，第y秒時，OD邊在∠AOC的平分線上，請分別求出x、y的值；
（3）將圖①中的三角板繞點O順時針旋轉至圖②，使OD邊在∠AOC的內部，OE邊在∠AOC的外部，請?zhí)骄浚骸螦OE與∠DOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據平角定義求∠AOD的度數，根據垂直定義求∠COD的度數；
（2）如圖②，根據角平分線定義和旋轉性質列一元一次方程求出x的值；
如圖③，根據角平分線定義和旋轉性質列一元一次方程求出x的值；
（3）利用∠EOC列等式，可得結論．

解答 解：（1）如圖①，∵∠AOD+∠DOE=180°，∠DOE=60°，
∴∠AOD=180°-60°=120°，
∵OC⊥AB，
∴∠COE=90°，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=90°+60°=150°；
則∠AOD=120°，∠COD=150°，
（2）當OD邊恰好平分∠BOC時，如圖②，
由題意得：5x=60+45，
解得：x=21秒，
當OD邊在∠AOC的平分線上時，如圖③，
由題意得：5y=60+90+45，
y=39秒；
（3）如圖④，由圖可知：∠AOE+90°=∠DOC+60°，
∴∠AOE與∠DOC之間的數量關系是：∠DOC-∠AOE=30°．

點評 本題是角的計算問題，考查了角的和與差、角平分線、垂線的性質，明確角平分線將角平分成相等的兩個角，認真觀察角的大小及和與差，與三角板各角的度數相結合，同時利用旋轉前后的兩個角相等，列方程得出結論．