Question

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)為AB、CD的中點(diǎn)，AD=2，△AGF是由△ADF折疊而來(lái)的，連接GI，使得GI⊥AB．
（1）求GI的長(zhǎng)；
（2）求△AIG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DAF=∠GAF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAF=∠AFH，然后求出∠GAF=∠AFH，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AH=HF，設(shè)AH=x，表示出EH，再利用勾股定理列出方程求出x，然后根據(jù)△AEH和△AIG相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解；
（2）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AI，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵△AGF是由△ADF折疊而來(lái)，
∴∠DAF=∠GAF，AG=AD，
∵E，F(xiàn)為AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF=AD，AE=

1

2

×2=1，
∴∠DAF=∠AFH，
∴∠GAF=∠AFH，
∴AH=FH，
設(shè)AH=x，則EH=2-x，
在Rt△AEH中，AE²+EH²=AH²，
即1²+（2-x）²=x²，
解得x=

5

4

，
EH=2-

5

4

=

3

4

，
∵EF⊥AB，GI⊥AB，
∴EF∥GI，
∴△AEH∽△AIG，
∴

AH

AG

=

EH

GI

，
即

5 4

2

=

3 4

GI

，
解得GI=

6

5

；

（2）∵△AEH∽△AIG，
∴

AE

AI

=

AH

AG

，
即

1

AI

=

5 4

2

，
解得AI=

8

5

，
△AIG的面積=

1

2

×

6

5

×

8

5

=

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記翻折的性質(zhì)并利用勾股定理列方程求出AH、EH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．