Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過X軸上的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點(diǎn)C（0，-1.5），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，若b=

3

a，AB=2

3

，
（1）①求拋物線的對稱軸；
②求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
③求拋物線的解析式．
（2）設(shè)D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
①直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；
②求⊙P的半徑R及P點(diǎn)坐標(biāo)；
③問直線BD是否經(jīng)過圓心P，并說明理由．
（3）設(shè)直線BD交⊙P于另一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EQ⊥BE交Y軸于Q，
①求E點(diǎn)坐標(biāo)；
②求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①把已知坐標(biāo)C代入求得c=-

3

2

，又b=

3

a，AB=2

3

，ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

求得a，b的值，即求出對稱軸；③由①求得的a，b，c即可得拋物線的解析式；②令y=0，解方程即可求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)對稱得D點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線BD的解析式，連接BP，設(shè)⊙P的半徑為R，求出R，P的值即可；③把點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線BD，可得出直線BD經(jīng)過點(diǎn)P．
（3）①過點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．②由PE²=PF•PQ，根據(jù)關(guān)系求解，求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答：解：（1）①∵軸上的點(diǎn)C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
又∵b=

3

a，AB=2

3

，令ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

，
解得：a=

2

3

，b=

2 3

3

；
∴對稱軸x=-

b

2a

=-

3

2

；
②由①得拋物線的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．
令y=0，

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

=0，
解得x₁=-

3

2

3

，x₂=

3

2

，
∴A（-

3

2

3

，0），B（

3

2

，0）；
③由②已得拋物線的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．

（2）①D（-

3

，-

3

2

），
②設(shè)直線BD為：y=kx+b，
由點(diǎn)B（

3

2

，0）和點(diǎn)D（-

3

，-

3

2

），可得
直線BD為：y=

3

3

x-

1

2

，
連接BP，設(shè)⊙P的半徑為R，在Rt△BOP中，根據(jù)勾股定理，得
R2=(

3

2

)2+(

3

2

-R)2，
∴R=1，P（0，-

1

2

），
③∵點(diǎn)P（0，-

1

2

）的坐標(biāo)滿足直線BD的解析式y(tǒng)=

3

3

x-

1

2

．
∴直線BD經(jīng)過圓心P．

（3）①由（2）知，P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，EP=BP，
過點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，
∴∠EFP=∠BOP=90°，∠EPF=∠BPO
得△OPB≌△FPE（AAS），
∴OB=EF=

3

2

，OF=2OP=-1，
∴E（-

3

2

，-1），
②設(shè)經(jīng)過E點(diǎn)⊙P的切線L交y軸于點(diǎn)Q．
則∠PEQ=90°，EF⊥PQ，
∴PE²=PF•PQ，
∵PE=1，PF=

1

2

，
∴PQ=2，
OQ=PQ+OQ=2+0.5=2.5，
∴Q（0，-2.5）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)和圓的綜合題，考查知識點(diǎn)較多，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，求點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．