Question

如圖在正方形ABCD中點E是CD的中點，AC與BE相交于點F，連接DF并延長交BC于點G，連接AE交DG于點H，則下列結(jié)論：①△ADF≌△ABF；②GB=GC；③S_△ABF=S_△GBF；④DE²=EH•EB，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)題意結(jié)合圖形，靈活運用有關(guān)定理對每一個結(jié)論逐一解析，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥DC；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠BAF=45°，AD=AB=BC=CD；
∴FM=FN
在△ADF與△ABF中，

AD=AB ∠DAF=∠BAF AF=AF

，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
故①正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，BC∥AD；
∴△CEF∽△ABF，△CGF∽△ADF，
∴

CE

AB

=

CF

AF

，

CG

AD

=

CF

AF

，而AB=AD，
∴CE=CG=

1

2

BC，
∴BG=CG，故②正確；
∵△CEF∽△ABF，
∴

S△CEF

S△ABF

=(

CE

AB

)2=

1

4

；
∵CE=BG，F(xiàn)M=FN，
∴S_△CEF=S_△BGF，
故③不正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠EDA=∠ECB；
在△ADE與△BCE中，

AD=BC ∠ADE=∠BCE DE=CE

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE；
同理可證：△ADE≌△DCG，
∴AE=DG；∠DAE=∠CDG，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDG+∠DEA=90°，
∴∠EDH=90°，
∴DE²=EH•AE，而EA=EB，
∴DE²=EH•EB．
故④正確．
綜上所述，正確結(jié)論有3個．
故選C．

點評：該題以正方形為載體，主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的應(yīng)用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．