Question

20．已知直線y=-$\frac{3}{4}$x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點，點C為直線AB上的一個動點，過點C作x軸的垂線交x軸于P點．
（1）當(dāng)OP=1時，△OCP的面積為$\frac{9}{8}$．
（2）作點P關(guān)于直線OC對稱的點P′，當(dāng)P′落在直線AB上時，求C點的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點C在線段AB上時，設(shè)以C為頂點的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D（如圖2）
①求CD的長；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)OP為何值時，h的值最大？

Answer 1

分析 （1）由條件可求得C點坐標(biāo)，可求得△OCP的面積；
（2）由對稱的性質(zhì)可知△OPC≌△OP′C，可知OD⊥AB，利用面積相等可求得OD，即可求得OP，可求得C點坐標(biāo)；
（3）①設(shè)C（t，-$\frac{3}{4}$t+3，），則以點C為頂點的拋物線，解得關(guān)于t的根，又由過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB從而解得CD；
②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在線段比例中t為$\frac{36}{25}$時，h最大．

解答 解：（1）∵PC⊥x軸，
∴當(dāng)OP=1時，即C點的橫坐標(biāo)為1，
又C在直線AB上，當(dāng)x=1時，代入可求得y=$\frac{9}{4}$，即PC=$\frac{9}{4}$，
∴S_△OCP=$\frac{1}{2}$OP•PC=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$；
（2）當(dāng)點P關(guān)于直線OC的對稱點P′落在直線AB上時，如圖1，

在△OPC和△OP′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP′}\\{PC=P′C}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△OP′C（SSS），
∴OP=OP′，且∠OP′C=∠OPC=90°，
以Rt△OAB中，OA=4，OB=3，可求得AB=5，
∴OP′=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴OP=$\frac{12}{5}$，即C點橫坐標(biāo)為x=$\frac{12}{5}$，代入直線AB解析式可求得y=$\frac{6}{5}$，
∴C點坐標(biāo)為（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（3）①由題意得：C（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∴以C為頂點的拋物線解析式是y=（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3，
由（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
即（x-t）²+$\frac{3}{4}$（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+$\frac{3}{4}$）=0，
解得x₁=t，x₂=t-$\frac{3}{4}$．
過點D作DE⊥CP于點E，如圖2，則∠DEC=∠AOB=90°，

∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE•BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$；
②∵CD=$\frac{15}{16}$，CD邊上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△COD為定值．
要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，因為當(dāng)OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，
∴OP=$\frac{OC•BO}{BA}$=$\frac{\frac{12}{5}×3}{5}$=$\frac{36}{25}$，
即當(dāng)OP為$\frac{36}{25}$時，h的值最大．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及三角形的面積、點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、二次函數(shù)解析式、三角形全等、相似的判定和性質(zhì)等知識點．在（1）中利用點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系求得CP是解題的關(guān)鍵，在（2）中得出OP′⊥AB是解題的關(guān)鍵，在（3）①中用t表示出DE、利用相似三角形的性質(zhì)求得CD，在②中判斷出△OCD的面積最大是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點較多，綜合性較強，難度很大．