Question

5．如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，拋物線y=ax²-3ax+c過點B、C，且與x軸另一個交點為A，過點C作x軸的平行線l，交拋物線于點G．
（1）求拋物線的解析式以及點A、點G的坐標；
（2）設(shè)直線x=m交x軸于點E（m＞0），且同時交直線AC于點M，交l于點F，交拋物線于點P，請用含m的代數(shù)式表示FM的長、PF的長；
（3）當(dāng)以P、C、F為頂點的三角形與△MEA相似時，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出B，C點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用圖象上點的坐標性質(zhì)得出答案；
（2）利用PF分兩類：①當(dāng)0＜m＜3時，②當(dāng)m≥3時，分別得出PF的長；
（3）當(dāng)△PCF與△MEA相似時，P點位置分兩種情況：（i）P在G左側(cè)，（ii）P在G右側(cè)，分別得出答案．

解答 解：（1）∵直線y=2x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，
∴x=0，y=4；y=0，則x=-2，
故B（-2，0），C（0，4），
將B，C代入y=ax²-3ax+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：$y=-\frac{2}{5}{x^2}+\frac{6}{5}x+4$，
則x=-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴A（5，0）、
當(dāng)y=4，則4=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4，
解得：x₁=0，x₂=3，
故G（3，4）；

（2）∵AC為$y=-\frac{4}{5}x+4$，點M（$m\;\;，\;-\frac{4}{5}m+4$），F(xiàn)M=$\frac{4}{5}m$，
∵P（m，$-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m+4$），PF分兩類：①當(dāng)0＜m＜3時，PF=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4-4=$-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m$，
②當(dāng)m≥3時，PF=4-（-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4）=$\frac{2}{5}{m^2}-\frac{6}{5}m$；

（3）當(dāng)△PCF與△MEA相似時，P點位置分兩種情況：
（i）P在G左側(cè)，（ii）P在G右側(cè)：
（i）P在G左側(cè)，兩個Rt三角形相似有兩種情況：①∠PCF=∠MAE；②∠CPF=∠MAE
①∠PCF=∠MAE時，$\frac{PF}{CF}=\frac{ME}{AE}=\frac{OC}{OA}=\frac{4}{5}$，則$\frac{{-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m}}{m}=\frac{4}{5}$，
解得：m=1，
②∠CPF=∠MAE時，$\frac{CF}{PF}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$-\frac{1}{8}$（舍去）
（ii）P在G右側(cè)，分兩種：
①∠PCF=∠MAE時，$\frac{PF}{CF}=\frac{4}{5}$則$\frac{{\frac{2}{5}{m^2}-\frac{6}{5}m}}{m}=\frac{4}{5}$，
解得：m=5（舍去）
②∠CPF=∠MAE時，$\frac{CF}{PF}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$\frac{49}{8}$，
綜上所述，當(dāng)以P、C、F為頂點的三角形與△MEA相似時，m=1或  m=$\frac{49}{8}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．