Question

11．如圖，點(diǎn)A₁是面積為3的等邊△ABC的兩條中線的交點(diǎn)，以BA₁為一邊，構(gòu)造等邊△BA₁C₁，稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)A₂是△BA₁C₁的兩條中線的交點(diǎn)，再以BA₂為一邊，構(gòu)造等邊△BA₂C₂，稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△B_nA_nC_n的頂點(diǎn)C_n第一次落在線段AB上時(shí)，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是$\frac{1}{27}$．

Answer 1

分析 設(shè)等邊△ABC的邊長為a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∠ABA₁=30°，同理判斷出每次構(gòu)造后等邊三角形的邊長變?yōu)樵瓉淼?\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，再確定出每一次構(gòu)造三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，然后求出4次構(gòu)造后構(gòu)造停止，用a表示出構(gòu)造停止后的等邊三角形的邊長，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計(jì)算即可得解．

解答 解：設(shè)等邊△ABC的邊長為a，
則等邊△ABC的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵A₁是兩條中線的交點(diǎn)，
∴A₁C=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∠ABA₁=30°，
同理可得，每次構(gòu)造后等邊三角形的邊長變?yōu)樵瓉淼?\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，
∵第n次構(gòu)造出的等邊△B_nA_nC_n的邊BC_n與等邊△CBA的邊AB第一次在同一直線上時(shí)，構(gòu)造停止，
∴（180°-60°）÷30°=120°÷30°=4，
即4次構(gòu)造后，構(gòu)造停止，
∴構(gòu)造停止時(shí)的等邊三角形的邊長為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）⁴a，
設(shè)最后一個(gè)三角形的面積為S，
則$\frac{S}{3}$=（$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{4}a}{a}$）²，
解得S=$\frac{1}{27}$．
故答案為：$\frac{1}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形是特殊的等腰三角形，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求出重心到等邊三角形頂點(diǎn)的距離等于邊長的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．