Question

2．如圖，Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，直角邊AC在x軸上，B點(diǎn)在第二象限，A（2，0），AB交y軸于E，將紙片過E點(diǎn)折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點(diǎn)開始沿射線EA平移，至B點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)停止．設(shè)平移時(shí)間為t（s），移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，平移中四邊形B₁C₁F₁E₁與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．
（3）若四邊形BCFE平移時(shí)，另有一動(dòng)點(diǎn)H與四邊形BCFE同時(shí)出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長度從點(diǎn)A沿射線AC運(yùn)動(dòng)，試求出當(dāng)t為何值時(shí)，△HE₁E為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊后BE與EA所在直線重合推出EF=EA，OA=OE=2，可求出AE，EF的值．
（2）根據(jù)四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為直角梯形EFQE ₁，由梯形的面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，同理可證出其它三種情況；
（3）根據(jù)已知條件和勾股定理求出E₁H的值，從而得出EH和EE₁的值，再分三種情況討論，當(dāng)E₁H=EE₁時(shí)，當(dāng)E₁E=EH時(shí)，當(dāng)E₁H=EH時(shí)，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵折疊后BE與EA所在直線重合，
∴EF⊥EA，
∵Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴EF=EA，
∵A（2，0），
∴OA=OE=2，AE=2$\sqrt{2}$，
∴EF=2$\sqrt{2}$；    

（2）如圖1，當(dāng)0≤t≤2$\sqrt{2}$時(shí)，
設(shè)F₁E₁與x軸交與點(diǎn)M，
∵平移時(shí)間為t（s），移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，
∴EE₁=t，AE₁=2$\sqrt{2}$-t，
∴ME₁=2$\sqrt{2}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$（ME₁+EF）EE₁=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-t+2$\sqrt{2}$）t=-$\frac{1}{2}$t²+2$\sqrt{2}$t（0≤t≤2$\sqrt{2}$），
同理可得出其它函數(shù)解析式：
S=4（2$\sqrt{2}$≤t≤4$\sqrt{2}$）             
S=-$\frac{1}{4}$t²+2$\sqrt{2}$t-4（4$\sqrt{2}$≤t≤6$\sqrt{2}$）
S=$\frac{1}{4}$t²-4$\sqrt{2}$t+32（6$\sqrt{2}$≤t≤8$\sqrt{2}$）；

（3）根據(jù)題意得：
E₁H=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}t-2）^{2}+（2-\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-8\sqrt{2}t+8}$，EH=$\sqrt{2{t}^{2}-4\sqrt{2}t+8}$，EE₁=$\sqrt{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}}$，
分三種情況：
當(dāng)E₁H=EE₁時(shí)，4t²-8$\sqrt{2}$t+8=0，即t²-2$\sqrt{2}$t+2=0，
解得：t=$\sqrt{2}$；
當(dāng)E₁E=EH時(shí)，2t²-4$\sqrt{2}$t+8=t²，即t²-4$\sqrt{2}$t+8=0，
解得：t=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)E₁H=EH時(shí)，5t²-8$\sqrt{2}$t+8=2t²-4$\sqrt{2}$t+8，即3t²-4$\sqrt{2}$t=0，
解得：t=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$或0（不合題意，舍去），
綜上：t=$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查的是分段函數(shù)的知識(shí)，二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應(yīng)的輔助線，注意分類討論，不要漏解．