Question

19．設(shè)函數(shù)y₁=（x-k）²+k和y₂=（x+k）²-k的圖象相交于點A，函數(shù)y₁，y₂的圖象的頂點分別為B和C．
（1）畫出當(dāng)k=0，1時，函數(shù)y₁，y₂在直角坐標(biāo)系中圖象；
（2）觀察（1）中所畫函數(shù)圖象的頂點位置，發(fā)現(xiàn)它們均分布在某個函數(shù)的圖象上，請寫出這個函數(shù)的解析式，并說明理由；
（3）設(shè)A（x，y），求證：x是與k無關(guān)的常數(shù)，并求y的最小值；
（4）設(shè)直線l：y=ax+1的圖象分別與函數(shù)y₁，y₂的圖象交于A，B和C，D．若AB=CD，寫出所有實數(shù)a．（直接寫出a的值即可，不要求寫理由）

Answer 1

分析 （1）k=0時，函數(shù)y₁=y₂=x²；k=1時，函數(shù)y₁=（x-1）²+1，y₂=（x+1）²-1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別畫出它們的圖象即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出（1）中所畫函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)頂點在直線y=x的圖象上；
（3）將y₁=（x-k）²+k代入y₂=（x+k）²-k，求出x的值為常數(shù)，即可證明x是與k無關(guān)的常數(shù)，再求出y的最小值；
（4）先將y=ax+1代入y₁=（x-k）²+k，整理得到x²-（2k+a）x+k²+k-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得出AB²=（1+a²）（4ka+a²-4k+4），同理得到CD²=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），根據(jù)AB=CD得出方程（1+a²）（4ka+a²-4k+4）=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），解方程即可求出實數(shù)a的值．

解答 解：（1）如圖所示；


（2）函數(shù)y₁=y₂=x²的頂點為（0，0），
函數(shù)y₁=（x-1）²+1的頂點為（1，1），
函數(shù)y₂=（x+1）²-1的頂點為（-1，-1），
它們都在直線y=x的圖象上，因為它們的坐標(biāo)均滿足解析式y(tǒng)=x；

（3）將y₁=（x-k）²+k代入y₂=（x+k）²-k，
得（x-k）²+k=（x+k）²-k，
整理得4kx=2k，
∵函數(shù)y₁=（x-k）²+k和y₂=（x+k）²-k的圖象相交于點A，
∴k≠0，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴x是與k無關(guān)的常數(shù)；
此時y=（$\frac{1}{2}$+k）²-k=k²+$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$，即y的最小值為$\frac{1}{4}$；

（4）將y=ax+1代入y₁=（x-k）²+k，
得ax+1=（x-k）²+k，
整理得x²-（2k+a）x+k²+k-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
所以AB²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+a²）（x₂-x₁）²，
∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=（2k+a）²-4（k²+k-1）=4ka+a²-4k+4，
∴AB²=（1+a²）（4ka+a²-4k+4），
同理得到CD²=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），
∵AB=CD，
∴（1+a²）（4ka+a²-4k+4）=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），
∴4ka+a²-4k+4=-4ka+a²+4k+4，
∴8ka=8k，
∵k≠0，
∴a=1．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．正確計算出AB²與CD²是解決第（4）問的關(guān)鍵．